Trigonometria bázisfeladatsor

2017. március 12.

4.4 Trignometria

---

Korábbi dolgozatokban feladott feladatok (a teljes anyaghoz) 

4.4-1 Egy téglalap egyik, 16 cm-es oldala az átlóval 25º-os szöget zár be. Mekkora a másik oldal, a téglalap területe és az átlóinak hossza?

4.4-2 Egy épülettől 25 m távolságból az épület egyik ablakának alsó párkánya 38º, felső párkánya 40º emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas az ablak?

4.4-3 cosα=3/4 Az α szög kiszámítása nélkül számítsd ki a sinα, a tgα és a ctgα értékét!

4.4-4 Egy egyenlő szárú háromszög alapja 6 cm, szárai 5 cm hosszúak. Határozd meg a szögeit, az alaphoz tartozó magasságát és a területét!

4.4-5 Egy 2 km magasan repülő helikopter repülésének irányában a földön egy fasor áll. A fasor eleje 32º, a fasor vége 30º depressziószög alatt látszik. Milyen hosszú a fasor?

4.4-6 sinα=4/5 Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki a cosα a tgα és a ctgα értékét!

4.4-7 Egy rombusz átlói 6 és 8 cm hosszúak. Mekkorák az oldalai és a szögei?

4.4-8 Mekkora sugarú körbe írható 10 cm oldalhosszúságú szabályos kilencszög?

4.4-9 Egy repülőgép a föld felett 1700 m állandó magasságban repül. A haladás irányában előtte levő falut 7º depressziószög alatt látja. 3 perc elteltével a falu depressziószöge már 47º. Mekkora utat tett meg a gép 3 perc alatt, és mekkora a sebessége?

4.4-10 Egy 25 m magas épület egy 12 m magas épület tetejéről 14º emelkedési szög alatt látszik. Milyen távol van egymástól a két épület?

4.4-11 Mekkora sugarú körbe írhatunk 21 cm oldalú szabályos kilencszöget?

4.4-12 Egy 1225 m magas hegy csúcsáról egy másik, 847 m magas hegy csúcsa 12º depressziószög alatt látszik. Milyen messze van egymástól légvonalban a két hegycsúcs?

4.4-13 Mekkora a 7 cm sugarú körbe írt szabályos tizenkétszög oldala?

4.4-14 Egy szabályos négyszög alapú gúla alapéle 10 cm, az oldallapjának az alaplappal bezárt szöge 60°. Mekkora a testmagassága, az oldaléle és az oldalélnek az alaplappal bezárt szöge?

4.4-15 Egy háromszög egyik szöge 63°-os. E szög szögfelezője a szemközti oldalt egy 54cm-es és egy 38cm-es szakaszra bontja. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei?

4.4-16 Egy 180m magas hegyről figyeljük a völgyben vízszintesen vezető úton haladó autót. Kezdetben a vízszintessel  20°-ot bezáró depressziószögben látjuk, majd 1 perc múlva 16°-os depressziószögben. Közben éppen 30°-ot kellett elfordulnunk. Mekkora az autó sebessége?

4.4-17 Mekkorák annak a háromszögnek a szögei és oldalai, amelynek területe 893 cm², két oldala pedig 38 cm, illetve 47 cm?

4.4-18 Egy paralelogramma egyik oldala 18 m, egyik átlója 11 m, ezek szöge pedig 77º. Mekkorák a szögei és a másik oldala?

4.4-19 A londoni Big Ben óramutatója 2,47m, percmutatója 4,2m hosszú. Milyen messze van egymástól a két mutató végpontja délelőtt fél 11-kor?

4.4-20 Egy híd hosszát akarjuk megmérni a híd irányában levő 43 m magasságú helyről. Innen a híd két végpontját 5,4º és 9,3º depressziószög alatt látni. Milyen hosszú a híd?

4.4-21 Egy 500 m magas hegycsúcsról nézve két falu közötti távolságot 70,3º-os szögben látjuk. A csúcsról az egyik falu 6,8º-os, a másik falu 7,4º-os depressziószög alatt látszik. Milyen távolságra vannak egymástól a falvak?

4.4-22 Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a; sin 2x = sin (4x+1)                      b; cos 2x = cos (1-4x)

4.4-25.4 méter magas szobor  egy emelvényen helyezkedik el  Csizmáját  5°. feje búbját 7,5° emelkedési szögben látom. Én magam 1,7 méter magas vagyok. 

(i) Milyen magas az emelvény?

(ii) Milyen messziről nézem?

 

4.4-26  1,7 méter magas táncosnőt  1 méter magas emelvényen táncol.  Én az emelvénytől  5 méter távolságban vagyok.  Magasságom továbbra is 1,7 méter.

(i) Mekkora szögben látom a bokaláncát? (ii) Mekkora szögben látom a feje búbját?

 

4.4-27-4.4-30 – fenntartva

Kiadható feladatlap – bevezető trigonometria, 10. osztály

4.4-31 (GII 48) Milyen magas az a torony, amelynek árnyéka a vízszintes síkon 100 m, ha a Nap sugarai 35°-os szög alatt esnek a földre?

4.4-32 (GII 49) Egy folyó partján egy torony áll, amelynek 25 m magasan levő ablakából a folyó szélessége 86°46’-nyi szög alatt látszik. Milyen széles a folyó.

4.4-33 (GII 57) Milyen magasra emelkedett a helikopter, ha róla az alatta levő ponttól 3 km-nyire nyúló egyenes országút hosszúsága 69°47’-nyi szög alatt látjuk, s szemünk az épület talppontjával egy vízszintes síkban fekszik?

4.4-34 (GII 73) Határozzuk meg annak az épületnek a magasságát, amely a tőle 150 m távolságban felállított 1,5 m magas teodolittal mérve, 7,8°-os emelkedési szög alatt látszik.

4.4-35 (GII 74.) Egy 25 m magas épület egy 12 m magas épület tetejéről 14° emelkedési szög alatt látszik. Milyen messze van a két épület egymástól?

4.4-36 (GII 80). Hegy tetején levő emlékoszlop a völgyből 1°5’-nyi szög alatt látszik, a hegy pedig 18°41’ szög alatt. A hegy 380 m magas. Milyen magas az emlékoszlop?

4.4-37 (GII 81) Egy toronyból egy tereppont 4°42’-nyi depressziószög alatt látszik. Milyen messze van a tereppont, és milyen magasan vannak az ablakok?

4.4-38 (GII 82). A 40 m magas toronyablakból egy léghajó 34°20’-nyi emelkedési szög alatt látszik, a torony melletti tó tükréről visszavert képe pedig 38°42’-nyi depressziószög alatt. Milyen magasan van a léghajó?

4.4-39 (GII 83). Valamely folyó partjától 50 m távolságban egy torony áll, amelynek 23 m magasan levő ablakából a folyó szélessége 16°52-nyi szög alatt látszik. Milyen széles a folyó?

4.4-40 (GII 98.) Mekkora szög alatt hajlik a vízszinteshez egy 1532 m hosszú egyenes út, mely 84 m magas hegyre vezet?

4.4-41 (GII 99) Egy oszlop 6,3 m hosszú dróttal van kikötve, s a drót 71°44’-nyi szöggel hajlik a vízszinteshez. Ha 5,5 m-rel távolabb akarjuk kikötni, hogy m-rel hosszabb drótra lesz szükségünk?

4.4-42 (GII 100). Egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög 36°52’, a szöget felező egyenes hossza 25 cm. Mekkorák a háromszög befogói?

4.4-43 (GII 101) Egy toronyantennához 230 m hosszú egyenes út vezet, melynek emelkedése 21°17’. Az út elejéről az antenna csúcsa 39°51’ emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas az antenna?

4.4-44 (GII 104) 80 m hosszú lejtős út felső végén levő emlékoszlopot 3,7°-os szög alatt látunk az út elejéről. A lejtő hajlásszöge 21°18’. Milyen magas az emlékoszlop?

4.4-45 (GII 105). Egy hegyről egy felhő 17,5° emelkedési szög alatt, képe pedig a hegy lábánál elterülő tóban 24° depressziószög alatt látszik. Milyen magas a hegy, milyen magasan van a felhő a víz színe fölött, ha a hang terjedési sebessége 340 m/s és a dörgés a villámlás után 10 sec után hallatszik?

4.4-46 (GII 111). Egy egyenlő szárú háromszög kerület 78,4 m, a csúcsnál levő szög 61°10’. Mekkorák a háromszög oldalai, valamint a területe?

4.4-47 (GII 112). Egy egyenlő számú háromszög alapja 300 m, a szár és az alaphoz tartozó magasság különbsége 36 m. Mekkorák a szárak, a szögek, az alaphoz tartozó magasság és a terület?

4.4-48 (GII 115) Egy egyenlő szárú háromszög területe 108 dm², a csúcsnál levő szöge 36°52’. Mekkora az alapja és a magassága?

4.4-49 (GII 117). Mekkorák valamely egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei, ha az alaphoz tartozó magasság 15 m, a szárhoz tartozó magasság pedig 8 m?

4.4-50 (GII 118). Egy 2 m hosszú kétágú létre nyílásszöge 40°. Milyen magasságban állunk a létre tetején?

4.4-51 (GII 121). Fonálinga hossza 42,8 cm. Két szélső helyzete között a távolság 21,2 cm. Mekkora szöget zár be két szélső helyzetében?

4.4-52 (GII 122). Egy külső pontból egy körhöz húzott érintők hossza 40 cm, a pontnak a kör középpontjától való távolsága 50 cm. Mekkora szöget zár be a két érintő? Mekkora az érintési pontokat összekötő húr hossza?

4.4-53 (GII 123). Egy külső pontból egy körhöz húzott érintők hossza 10 cm; az érintők által bezárt szög 30°. Mekkora a kör sugara és az érintési pontokat összekötő húr hossza? Mi az eredmény, ha az érintők által bezárt szög 60°?

4.4-54 (GII 124) Egy téglalap egyik 16 cm hosszú oldala az átlóval 65°26’-nyi szöget zár be. Mekkora a téglalap másik oldala, átlója, területe, s mekkora szöget zár be a két átlója?

4.4-55 (GII 125). Egy téglalap két átlója 36°54’ szöget zár be egymással. Ezzel a szöggel szemközti oldal 12 cm hosszú. Mekkora a téglalap területe? Oldjuk meg ezt a feladatot általánosan.

4.4-56 (GII 129) Egy téglalap átlója 45,74 cm. A két átló által bezárt szög 42°28’. Mekkorák a téglalap oldalai?

4.4-57 (GII 130) Két párhuzamos fasor egymástól való távolsága 16 m, hosszuk 586 m. Mekkora szög alatt látjuk a két fasor egyik végeinek távolságát, ha a fasornak a másik végén, a középen helyezkedünk el?

4.4-58 (GII 135). Egy rombusz oldalának és nagyobbik átlójának összege 78,56 m, a hegyesszöge 29°. Mekkora az oldala?

4.4-59 (GII137). Mekkora a rombusz oldala, ha kisebbik átlója 18,36 cm, ezzel szemközti szöge pedig 56°20’?

4.4-60 (GII 138). Ha egy rombusz oldalainak felezőpontját összekötjük, olyan téglalapot kapunk, melynek területe 126 m². A rombusz egyik szöge 138°. Mekkora a rombusz oldala?

4.4-61 (GII 139) Egy rombusz kerülete 30 cm, területe 54 cm². Mekkorák az átlói és szögei?

4.4-62 (GII 141) Mekkora a 12 cm sugarú körbe írt szabályos tízszög oldala?

4.4-63 (GII 142) Mekkora a 7 cm sugarú körbe írt szabályos hétszög oldala?

4.4-64 (GII 143) Mekkora sugarú körbe írhatunk 15 cm oldalú szabályos ötszöget?

4.4-65 (GII 144) Mekkora sugarú körbe írhatunk 21 cm oldalú szabályos kilencszöget?

4.4-66 (GII 164) Mekkora a szabályos nyolcszög kerülete és területe, ha két szemközti oldal távolsága 38,28 cm?

4.4-67 (GII 166) Mekkora a szabályos ötszög kerülete és területe, ha az átlója 8 cm?

4.4-68 (GII 173) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 6 cm; az alapon fekvő szögek 70°-osak. Mekkora a háromszög köré írt kör sugara?

4.4-69 (GII 174) Egy háromszög egyik oldala 5 cm, a vele szemközti szög 62°. Mekkora a körülírt kör sugara?

4.4-70 (GII 175) Egy kör húrja a sugár 2/3-a. Mekkora a húrhoz tartozó középponti szög?

4.4-71 (GII 183). Egy vashíd két pillérjének egymástól való távolsága 140 m. Az áthidaló köríves ívhíd nyílásmagassága 37,5 m. Mekkora az ív hossza?

4.4-72 (GII 187) Egy 10 m sugarú körcikk területe 10 m². Mekkora a körcikkhez tartozó húr?

4.4-73 (GII 200) Egy egyenlő szárú trapéz két párhuzamos oldala 11 cm és 23 cm; magassága 4 cm. Mekkorák a trapéz szögei?

4.4-74 (GII 208) Egy egyenlő szárú trapéz egyik párhuzamos oldala 48 m, átlója 50 m, magassága 30 m. Mekkorák a szárai, a másik párhuzamos oldala és szögei?

4.4-75 (GII 215) Egy általános trapéz egyik párhuzamos oldala 24 cm, a rajta fekvő két szög 70°35’ és 62°. Ha a szárakat nagyságukkal meghosszabbítjuk, háromszöget nyerünk. Mekkora a trapéz területe?

4.4-76 (GII 219) Egy általános trapéz párhuzamos oldalai 100 m és 52,8 m; a szárai pedig 71,3 m és 65,4 m hosszúak. Mekkora a trapéz területe, és mekkorák a szögei?

4.4-77 (GII 226) Egy egyenlő szárú trapéz átlója 54,68 cm, a szárai 40 cm hosszúak. Az átló és a szár által bezárt szög 65°. Mekkorák a trapéz szögei és két párhuzamos oldala?

4.4-78 (EÉF 2245) A gömb alakú lámpabúra a középpontjából 3,2 m távolságból 6°-ös szögben látszi. Mekkora a búra átmérője?

4.4-79 (EÉF 2251) Milyen magas hegy tetején áll az a 35 m magas kilátótorony, amelynek alját 13°-os, tetejét 14,5°-os emelkedési szögben látni?

4.4-80 (EÉF 2252). Egy gyárkémény alját a 7,2 m magas tetőterasztól 1,5°-os depressziószög alatt, a gyárkémény csúcsát 8°-os emelkedési szög alatt látjuk. Milyen magas a kémény?

4.4-81 (EÉF 2253). Egy völgyben álló, 45 m magas toronyház teteje a közeli hegycsúcsról nézve 21°, talppontja 25° depressziószög alatt látszik. Milyen magasan van a hegycsúcs a völgy fölött?

4.4-82 (EÉF 2255). Egy repülőgép ablakán kinézve egy irányban látunk két azonos tengerszint feletti magasságon fekvő ki települést. A térképről tudjuk, hogy a települések távolsága 25 km. Az egyike a vízszinteshez képest 20°-os, a másikat 48°-os depressziószög alatt látjuk.

a)      Készítsen vázlatot az adatokat is jelölve az ábrán!

b)     Milyen magasan repül a repülőgép a települések tengerszint feletti magasságához képest?

4.4-83 (EÉF 2256) Egy 670 m magas hegyről egy felhő 60°-os emelkedési szögben látszik. A hegy lábánál elterülő tóban a felhő tükörképe 70°-os depressziószögben látszik. Milyen magasan van a felhő a hegycsúcs felett?

4.4-84 (EÉF 2260). Egy gyárkémény tetejét az aljával egy szintben levő A pontból 19°-os emelkedési szögben látjuk. 220 méterrel közeledve a toronyhoz, annak tetejét 27°-os emelkedési szögben látjuk. Milyen magas a torony?

4.4-85 (EÉF 2261). Egy csavar átmérője 5 mm. A csavarmenet emelkedési szöge 4,5°. Mennyit halad befelé a csavar, ha egy teljes fordulatot hajtunk rajta?

4.4-86 (EÉF 2265). Egy tengerparton álló, 47 méter magas világítótoronyból egy kis motorcsónak 26°-os depressziószögben látszik.

a)      Milyen messze van a csónak?

b)     Mekkora szögben látszik egy toronytól kétszer olyan messze levő halászcsónak?

c)      Legalább mekkora a kis motorcsónak sebessége akkor, ha fél perc múlva depressziószöge már 44°?

SKALÁRIS SZORZAT, SZINUSZTÉTEL, KOSZUNUSZTÉTEL

 

4.4-90.  Két vektor közül az egyik 8, a másik 5 egység hosszú, skaláris szorzatuk 32. Mekkora szöget zárnak be a vektorok?

4.4-91.  (BG)++ Egy háromszög két oldala: 5 és 8.  A kisebbik oldallal szemközti szög 30°. Adjuk meg a  hiányzó oldalt és szögeket.

4.4-93. Egy háromszög két oldal 7 és 9 egység, a 7 hosszúságú oldallal szemközti szög 25°. Mekkora a harmadik oldal és mekkorák a hiányzó szögek? 

4.4-94.  Egy háromszög oldalai 12, 14 és 17 egység. Milyen hosszú a 14 hosszúságú oldalhoz tartozó súlyvonal?    

4.4-95.a+b+c=22;   α:β:γ=5:6:7 Szögek és oldalak?

4.4-96.  Egy toronyóra mutatói 30 és 50 cm hosszúságúak. 15 óra 45 perckor milyen messze van a két mutató végpontja egymástól?

4.4-97 Mekkorák annak a háromszögnek a szögei és oldalai, amelynek területe 893 cm², két oldala pedig 38 cm, illetve 47 cm?

4.4-98  Egy paralelogramma egyik oldala 18 m, egyik átlója 11 m, ezek szöge pedig 77º. Mekkorák a szögei és a másik oldala?

 

4.4-99-4.4-109 fenntartva